პითაგორას თეორემა

პითაგორას 

თეორემა

მათემატიკაში პითაგორას თეორემა არის ურთიერთდამოკიდებულება ევკლიდეს გეომეტრიაში მართკუთხა სამკუთხედის სამ გვერდს შორის. თეორემას სახელი ბერძენი მათემატიკოსი პითაგორას გამო დაერქვა, რომელმაც პირველად დაამტკიცა მისი მართებულობა.
თეორემა შემდეგში მდგომარეობს:
ნებისმიერ მართკუთხა სამკუთხედში, კვადრატის ფართობი, რომლის გვერდი ჰიპოტენუზის ტოლია უდრის დანარჩენ ორ გვერდზე მდებარე კვადრატთა ფართობების ჯამს.
ვთქვათ c არის ჰიპოტენუზის სიგრძე, ხოლო a და b დანარჩენი ორი გვერდის სიგრძე, მაშინ თეორემა შემდეგი ტოლობით გამოიხატება:
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,}ეს ტოლობა გამოხატავს მარტივ ურთიერთდამოკიდებულებას მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის, ანუ თუ მისი ორი ნებისმიერი გვერდის სიგრძე ცნობილია, მესამის გამოთვლაც შესაძლებელია. ამ თეორემიდან გამომდინარეობს კოსინუსების თეორემაც, რომელიც საშუალებას იძლევა გამოვთვალოთ ნებისმიერი სამკუთხედის მესამე გვერდი, თუ ცნობილია ორი გვერდის სიგრძე და მათ შორის მდებარე კუთხე.
ამ თეორემის შებრუნებული ვერსიაც (კონვერსია) ასევე ჭეშმარიტია:
ნებისმიერ სამი დადებითი რიცხვისთვის a, b, და c სადაც a2 + b2 = c2, არსებობს სამკუთხედი გვერდებით a, b და c, და ყოველ ასეთ სამკუთხედს აქვს მართი კუთხე გვერდებს a და b შორის.

I დამტკიცება. 2 ნახაზზე გამოსახულია ორი ტოლი კვადრატი, თითოეულის გვერდის სიგრძეა a + b. თითოეული მათგანი დაყოფილია ნაწილებად, რომლებიც შედგება მართკუთხა სამკუთხედებისა და კვადრატებისაგან. ნათლად ჩანს, რომ თუ კვადრატის ფართობს გამოვაკლებთ a და b კათეტების მქონე მართკუთხა სამკუთხედის გაოთხკეცებულ ფართობს, დარჩება ტოლი ფართობები, c2 = a2 + b2 .
ეს დამტკიცება მიეწერება პითაგორას და ეყრდნობა სამკუთხედების მსგავსებას. (ნახ.3). ABC მართკუთხა სამკუთხედის C მართი წვეროდან დავუშვათ CM სიმაღლე. სამკუთხედები ABC, CMB, ACM მსგავსია ორი კუთხით (<ACB = <BMC = <CMA, <ABC = <BMC = <MCA). ABC და ACM სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარეობს ტოლობა: AB/AC = AC/MA, საიდანაც AC2 = AB x MA (1). ABC და CBM სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარეობს ტოლობა: AB/CB=CB/MB, საიდანაც CB2 = AB x MB (2)
(1) და (2) ტოლობების შეკრებით მივიღებთ: AC2 + CB2 = AB2. ე.ი. c2 = a2 + b2 . თეორემა დამტკიცებული

                 

     

  
  

ნასირ-ედ-დინ-ალ-ტუსის დამტკიცება[რედაქტირება | წყაროს რედაქტირება]
XII საუკუნის გამოჩენილი აღმოსავლელი მეცნიერ-ენციკლოპედისტის, ევკლიდეს "საწყისების" არაბულ ენაზე მთარგმნელის - ნასირედდინ-ალ-ტუსის დამტკიცებაც ეყრდნობა ფიგურათა ტოლდიდობას. (ნახ. 5). ABC სამკუთხედის გვერდებზე ავაგოთ კვადრატები ABGK, ACED და BCQN. გავაგრძელოთ ABGK კვადრატის AK გვერდი, ACED კვადრატის DP გვერდის გაგრძელებასთან F წერტილში გადაკვეთამდე, ხოლო ABGK კვადრატის BG გვერდი BCQN კვადრატის QN გვერდთან M წერტილში გადაკვეთამდე. DE და QN გვერდების გაგრძელებები იკვეთება P წერტილში. რადგან DP||AQ და PN||EB, ხოლო <ECQ=900, როგორც მართი კუთხის ვერტიკალური, ამიტომ ECQP არის მართკუთხედი. ABC სამკუთხედის C კუთხის წვეროდან დაშვებული CO სიმაღლე გავაგრძელოთ KG – ს გადაკვეთამდე L წერტილში. L, O, C , P წერტილები ერთ წრფეზეა.
SKLOA = SACPF = SACED = a2
SLGBO = SCBMP = SCBNQ = b2
SAKGB = SAKLO + SLGBO = c2
ამრიგად, ვიღებთ: c2 = a2 + b2 .

c2 - 4 (1/2 a b)=(b – a)2

c2 – 2 a b =(b – a)2

c2 = (b – a)2 +2 a b

c2 = b2 -2 a b +a2 +2 a b

c2 = a2 + b2 

გისურვებთ წარმატებას

მეტი გაგეგოთ პიტაგორაზე!!!